Rudi Mathematici

Rivista fondata nell’altro millennio

Numero 283 – Agosto 2022 – Anno Ventiquattresimo

L’orologio solare azimutale analemmatico della piazza della Borsa di Trieste, è qui fotografato dal redattore con meno talento del gruppo. Il Capo ha ormai raccolto talmente tanti orologi in forme diverse, che prima o poi ci aspettiamo scriva qualcosa sull’argomento, ma no.

1.    Un diavolo per capello

“Ninna nanna, nanna ninna,

er pupetto vò la zinna:

dormi, dormi, cocco bello,

sennò chiamo Farfarello

Farfarello e Gujermone

che se mette a pecorone,

Gujermone e Ceccopeppe

che se regge co le zeppe,

co le zeppe d'un impero

mezzo giallo e mezzo nero…”

(“Ninna nanna della guerra”, Trilussa, 1914)

La “Ninna nanna della guerra[1]” è abbastanza insolita nel panorama delle poesie di Carlo Alberto Camillo Mariano Salustri, più noto al pubblico con lo pseudonimo che adottò anagrammando il suo cognome, Trilussa. Insolita perché lunga, ben più lunga dei quattordici versi che delimitano i sonetti, una delle sue forme preferite, e diversa anche per lo spirito: pur non essendo certo priva della tagliente ironia che caratterizza il poeta, la poesia sembra un po’ più triste e stanca del solito. Insomma, non sembra che Trilussa abbia tanta voglia di scherzare, mentre la compone.

Carlo Salustri, il Trilussa

In parte la cosa è spiegabile anche solo pensando al periodo in cui è stata composta: era l’autunno del 1914; alcuni dicono nel mese di Ottobre, altri Dicembre. In ogni caso, si tratta di quel periodo in cui la Grande Guerra è già scoppiata anche se l’Italia, ancora formalmente neutrale, deve ancora decidere con quale schieramento allearsi. Trilussa è probabilmente tra coloro che la guerra non vorrebbero proprio farla da nessuna parte, a giudicare dal contenuto dei versi che compone: ma sembra anche che, se proprio dovesse scegliere un campo, quello preferito non sarebbe quello degli Imperi Centrali. Lo si capisce soprattutto dal fatto che l’invettiva nomina esplicitamente (e con evidente poca simpatia) “Gujermone” e “Ceccopeppe” ovvero il Kaiser Guglielmo II di Germania e Francesco Giuseppe, imperatore dell’Austria-Ungheria. Poi, qualche mese dopo, l’Italia scenderà davvero in guerra, alla fine della quale si ritroverà con più di seicentomila soldati morti sui fronti e mezzo milione di civili caduti presso le loro case. Nel frattempo la “Ninna nanna della guerra” sarà diventata una canzone: non si sa chi ne ha composto la musica, ma a Torino diventa un canto di protesta prima ancora del fatidico Maggio 1915, e durante il conflitto la si sentirà spesso cantare, con buona pace degli alti ufficiali, nelle trincee lungo il corso dell’Isonzo e sull’altipiano di Asiago.

Nel testo, abbastanza sconsolato, Trilussa se la prende soprattutto con i sovrani: nomina anche un “sovrano macellaro” che, più che come riferimento al re d’Italia, va inteso probabilmente come un monarca generico: i regnanti ricorrono facilmente ai bagni di sangue e sono tutti parenti, spesso di fatto ma certo sempre nello spirito, e di sicuro preferiscono la compagnia dei loro pari a quella del “popolo cojone” a cui sono malinconicamente riservati gli ultimi versi della ninna nanna.

Il solo altro nome proprio citato nella poesia, oltre a quelli degli imperatori Guglielmo e Francesco Giuseppe, è quello di un personaggio tutt’altro che imperiale, e a ben vedere anche tutt’altro che reale: Farfarello. Nonostante il nome suoni innocuo, persino adatto ad un personaggio di fiabe per bambini (non per niente trova posto in una ninna nanna), Farfarello è tutt’altro che simpatico e gentile: è infatti un diavolo, ed è evidente che nell’invettiva di Trilussa rivesta il ruolo di personificatore della guerra. Non è certo un diavolo terrificante come Satana, Lucifero, Woland o Mefistofele: demoni e satanassi hanno nel nome gran parte del loro potere terrificante, e Farfarello, da questo punto di vista, è un po’ carente. Restando in campo letterario, potrebbe forse ricordare Azazello, il diavoletto che imperversa per Mosca ne “Il maestro e Margherita” di Bulgakov. Entrambi portano nomi simpatici e dal suono poco pericoloso, ma sono pur sempre esseri pregni della loro natura maligna e demoniaca, fedeli al loro mandato istituzionale di crudeli servitori e adoratori del Male.

Viene da chiedersi per quale ragione Trilussa abbia scelto proprio Farfarello per la sua poesia, oltre che per le naturali esigenze di metrica e di rima. In parte, come si è detto, forse proprio perché Farfarello è un nome adatto ad una cantilena infantile, e quindi consente di mantenere vivo il gioco di spacciare per ninna nanna destinata ai lattanti un’invettiva che ha ben altre intenzioni. O forse no, è solo una questione di gusto poetico; di certo non è per carenza di nomi demoniaci, perché di quelli ce ne è abbondanza: anche perché, quando compare per la prima volta in letteratura, Farfarello è accompagnato da un’intera squadra di compagni di cattiverie. E a portarlo in vita (e in rima) sulle antologie della lingua patria è proprio il padre della lingua stessa, Dante:

Tutti gridaron: “Vada Malacoda!”;

per ch’un si mosse - e li altri stetter fermi -

e venne a lui dicendo: “Che li approda?”.

(…)

Ma quel demonio che tenea sermone

col duca mio, si volse tutto presto

e disse: “Posa, posa, Scarmiglione!”.

(…)

“Tra’ ti avante, Alichino, e Calcabrina”,

cominciò elli a dire, “e tu, Cagnazzo;

e Barbariccia guidi la decina.

Libicocco vegn’oltre e Draghignazzo,

Cirïatto sannuto e Graffiacane

e Farfarello e Rubicante pazzo.[2]

Come si vede, di diavoli ce ne è abbastanza per fare un’intera squadra di calcio, perfino con qualche riserva in panchina. Dante pesca alcuni nomi dalla tradizione medievale, che di demoni abbondava, e altri ne inventa di sana pianta: ma è abbastanza curioso notare come alcuni nomi siano effettivamente tali da rappresentare degnamente la natura malandrina dei possessori (come Malacoda, Scarmiglione, Cagnazzo, Draghignazzo e Graffiacane), mentre altri sono assai meno caratterizzati. Rubicante forse è rosso, o in grado di far arrossire chiunque: ma il nome resta affascinate, e starebbe bene a un pittore o a un trovatore; Barbariccia è nome neutro, solo descrittivo; Ciriatto mantiene l’etimologico mistero del suo significato (come del resto fanno una gran quantità di nomi di persona) mentre Libicocco ha un sentore quasi esotico. Ma Alichino e – soprattutto – Calcabrina sembrano addirittura più adatti a personaggi positivi: Alichino suggerisce un diminutivo, è difficile immaginarselo diverso da un bambino; e Calcabrina è così poetico che starebbe bene più ad una fata che a un satanasso: non la vedete, leggera e sorridente, mentre cammina soave nei boschi incantati dal gelo mentre scioglie con i suoi passi la brina e apre il terreno alla primavera?

La squadra dei Malebranche

Farfarello, in cotanta squadra, mantiene il primato del nome più sbarazzino, quello che starebbe bene, in una classe, allo scolaro che alterna risatine e battute un po’ sciocche, ma che è comunque il più benvoluto da tutti. Forse per questo piace a Trilussa: ma resta comunque un demonio, e infatti personifica la guerra; quasi a ricordarci che i nomi posso mentire, o di certo quantomeno illudere. Insomma che, come ricorda il più frusto dei proverbi, non è il caso di giudicare un libro dalla sua copertina.

In fondo, è lo stesso Dante a metterci in guardia: per quanto questo suo XXI canto dell’Inferno mantenga un tono vagamente più scherzoso del solito, con la descrizione del plotone di diavoletti che si mettono in parata come soldatini, poco spaventevoli e addirittura quasi comici, ci vuol poco a ricordare che restano tutti, dal primo all’ultimo, crudeli artefici di sofferenza. Lo ricorda già il nome del luogo dove risiedono, Malebolge; non che l’Inferno abbondi di posti gradevoli, ma Malebolge non ispira in nessun caso un piacevole luogo di villeggiatura. Lo ricorda anche, e forse soprattutto, la descrizione del mestiere dei demoni lì compartimentati: è il posto dove vengono puniti i Barattieri, che al tempo di Dante (e secondo Dante) a quel tempo barattavano facilmente un permesso in cambio di soldi, soprattutto a Lucca, dove “del no, per li denar, vi si fa ita”[3]. Oggigiorno, non sapremmo se chiamare i Barattieri corrotti o concussi, ma saremmo certo in grado di rassicurare i lucchesi di non sentirsi in colpa, che in questo caso davvero tutto il mondo è paese. Ma soprattutto è la descrizione del loro lavoro infernale che cancella ogni ombra di sorriso: prendono i dannati per i talloni, perforandoli, e li trascinano alla stregua di bestie destinate al macello: per svolgere degnamente questo servizio sono dotati di artigli simili ad uncini, che consentono loro di brancare facilmente i dannati destinati al supplizio. Ed è proprio da questi “uncini abbrancatori” che deriva il nome collettivo:

L’omero suo, ch’era aguto e superbo,

carcava un peccator con ambo l’anche,

e quei tenea de’ piè ghermito ’l nerbo.

Del nostro ponte disse: “O Malebranche,

ecco un de li anzïan di Santa Zita!

Mettetel sotto, ch'i' torno per anche[4]

“Malebranche” è il nome comune della squadra di diavoli, ed è nome adatto e preciso, poiché non dovrebbe davvero essere piacevole essere presi da quegli uncini. Ma il Caso gioca con uomini e poeti, e non si può fare a meno di sorridere divertiti all’idea che un nome così spaventoso e abborrito come il dantesco Malebranche sia finito, più di tre secoli dopo, sulle spalle di un francese timido e pio, insomma diversissimo da un diavolo.

Nicolas Malebranche

Nicolas Malebranche nasce a Parigi il 6 Agosto 1638. È un altro caso[5] di rampollo fortunato per essere nato in una famiglia assai benestante, ma assai sfortunato per il modo in cui nasce: ha una deformazione alla spina dorsale, grosse difficoltà nel muoversi, e così viene istruito in casa fino all’età di sedici anni. Il padre era segretario del Re di Francia, e sua madre era nota per essere eccezionalmente dotata: probabilmente è grazie ai suoi geni se il giovane Nicolas mostra fin dall’infanzia una mente particolarmente brillante. Studia teologia, ed evidentemente non ha difficoltà a padroneggiarla, anche se alcuni suoi commenti epistolari lasciano intendere che non trovava la disciplina particolarmente interessante, e soprattutto non adatta a trasmettere gli ideali cristiani.

Ciò non di meno, continua a studiarla anche alla Sorbona, quasi fosse certo che il suo futuro fosse proprio quello del teologo; eppure, la disciplina continua a essere tutt’altro che gradita: “è solo una massa confusa di opinioni umane, discussioni frivole e sottigliezze buone per spaccare i capelli in quattro, senza alcun ordine né principio razionale di interconnessione”, scriverà in seguito. Ma siamo in pieno Seicento, secolo quantomai complicato dal punto di vista religioso, e Nicolas è pur sempre uno dei molti rampolli di una famiglia in vista con palesi problemi fisici: sa bene che, in un modo o nell’altro, la sua carriera professionale non potrà essere altro che una carriera religiosa.

Il “Trattato sull’Uomo” di Cartesio

Probabilmente l’età cruciale della sua vita è quella dei ventidue anni, nel 1660, quando rifiuta di diventare canonico a Notre Dame e decide invece di entrare nella Congregazione dell’Oratorio di Gesù e Maria Immacolata[6]. Qui il giovane Malebranche fa pace con la filosofia, e chissà, forse anche con la teologia: il fondatore della Congregazione, Bérulle, è un amico di Descartes e la visione cartesiana del mondo influenza grandemente gli studi che vi si svolgono. Quattro anni dopo, forte della sua vasta cultura religiosa, Malebranche viene ordinato prete.

Quel che è certo è che l’influenza della filosofia di Cartesio si è ormai accesa, e non si spegnerà mai più. È probabilmente la lettura del “Trattato sull’Uomo” che cambia la visione del mondo di Nicolas Malebranche: si racconta che la lettura di tante scoperte scientifiche lo emozionasse la punto di dover interrompere di tanto in tanto la lettura, perché gli faceva venire le palpitazioni. Tanto più si addentra nei metodi cartesiani, tanto più capisce e si appassiona alla matematica e alla fisica. Ormai il guaio è fatto: la passione di Nicolas è alta e forte, e diretta senza dubbio verso gli studi scientifici: ha occasione di incontrare più volte Leibniz a Parigi, ed è praticamente certo che questi lo abbia introdotto ai principi del calcolo. Non rinnegherà mai certo il suo sacerdozio e la sua fede, anzi: riuscirà a sposare i suoi maggiori interessi diventando professore di matematica proprio nell’Oratorio, creando all’interno dell’istituzione una vera e propria fucina di giovani appassionati di matematica, come de L'Hôpital e molti altri.

Per molti versi, Nicolas Malebranche resta più filosofo che matematico: per quanto eletto all’Accademia delle Scienze, per quanto fondamentale nel diffondere l’importanza del sapere scientifico a tutta una generazione di giovani intellettuali francesi, egli resta soprattutto attratto dalla ricerca ultima – appunto filosofica – della natura dell’universo. “Tutte le idee sono in Dio” è la frase che sintetizza il suo cosmo filosofico: non condivide con il suo mentore Cartesio l’idea di un universo puramente meccanico, e sogna di riuscire a unire in una sola grande idea unificatrice l’essenza e il ruolo di Dio e le leggi, scientifiche e razionali, dell’universo meccanico.

Forse la sua cosmogonia non regge alla visione degli uomini del XXI secolo, forse sì. Di certo, doveva soddisfare Malebranche assai più della teologia che era costretto a studiare da giovane.

2.    Problemi

2.1    Un problema riformulato

OK, confessiamo: questo problema l’avete sicuramente già visto. Quello che stiamo cercando di fare è ricavarne la “struttura pura”, ossia quale debbano essere le relazioni tra le varie caratteristiche per garantire un qualcosa di risolubile. Insomma, come disegnare uno schema del sudoku, ma forse un pochino più facile.

Dunque, siamo i “problematici” (sì, insomma, quelli che danno problemi...) ad una gara di matematica, e siamo in cinque: Riddle, Silverbrahms, d’Alembert, d’Alembert e d’Alembert...

“Rudy, va bene che sei il Capo, ma da qui a Uno e Trino, ce ne corre...”

No, scusate, riformuliamo: Alice, Doc, Rudy, Albert e Fred (ve li ricordate, vero, i VAdLdRM?). E dobbiamo esporre un problema a testa: i problemi sono stati catalogati in base alla loro difficoltà da 1 a 5, e non ci sono due problemi di ugual difficoltà.

Ognuno di noi ha una bellissima maglietta, e sono di cinque colori diversi; per ognuno dei problemi, abbiamo ricevuto un numero diverso di soluzioni, tra 70 e 74 (sì, abbiamo contato solo quelle giuste).

Adesso, arrivano le condizioni.

1.     Il numero di solutori del problema di chi ha la maglia gialla (che non è Alice) sono 3 in meno del numero di solutori del problema di Doc.

2.     Il problema di Rudy ha avuto ha avuto 72 solutori e la sua maglietta non è né gialla né verde.

3.     Il problema di Albert ha un solutore in meno rispetto a quello di chi ha la maglietta blu e la difficoltà del suo problema è un numero dispari.

4.     La difficoltà del problema di Alice e quella del problema di Fred assomano ad un totale di 7 (e quello di Fred è più difficile di quello di Alice).

5.     Chi ha la maglia rossa ha presentato un problema di due punti più difficile di quello presentato da chi ha la maglia blu.

6.     Uno tra Doc e chi ha avuto 74 solutori per il problema ha la maglietta rossa, mente l’altro aveva un problema di difficoltà 5.

7.     La maglietta di Fred non è né blu né verde; tra Fred e Doc, almeno uno ha un numero dispari di solutori

8.     Chi ha presentato un problema di difficoltà 3 è o chi ha avuto 73 solutori o Alice, il cui problema ha avuto 71 solutori.

Quanti solutori ha avuto il problema di Alberto?

Di che colore è la maglietta di Fred?

Qual era la difficoltà del problema di Rudy?

2.2    Siete inciampati e avete battuto la testa...

...quando vi telefona il vostro capo, per un lavoro urgente. Di quelli che “Io non voglio accendere il neurone, fai tu”.

Quello che riuscite a scoprire, tra le nebbie del trauma cranico, è che lui vi leggerà un elenco di 100 nomi; un qualche nome comparirà più della metà delle volte, e lui vi chiede di individuarlo

“Ma non può farselo lui?”

Cosa non vi è chiaro, del concetto di “neurone”? Ecco, a lui nulla.

Per la botta che avete preso, però, anche il criceto nel vostro cranio non è che si senta molto bene: infatti, è in grado di ricordare un solo nome per volta. La buona notizia è che potete dire “Ricordati questo!” e lui ubbidisce. E, sino al prossimo nome, potete astenervi dalla decisione (si potrebbe arzigogolare sul fatto che mente il capo sta zitto in realtà ce ne ricordiamo due, ma sorvoleremo su questa eccezione).

In pratica, ogni volta che sentite un nome potete decidere se memorizzarlo, compiere qualche altra azione o ignorarlo; ma se decidete di memorizzarlo, il nome che vi ricordavate sino a quel momento viene immediatamente cancellato; se volete ignorarlo, il nome appena pronunciato sparisce dalla vostra visibilità (nel senso che cancellate tutto in merito).

Vi è magnanimamente concesso di usare un contatore a scatto singolo: potete (grazie a due tasti) incrementare o decrementare il valore del contatore di uno (valore assoluto). Era questa, la “qualche altra azione” di cui sopra.

Esiste una strategia per identificare il nome più frequente?

Oh, attenzione: vi hanno spiegato tutte le regole e potete definire una strategia: essendo estremamente collaborativo, il vostro criceto è perfettamente in grado di ricordarsela e di applicarla. Come fate?

Solo un piccolo esempio. Supponiamo i nomi siano due: decidete che il primo nome pronunciato significa uno del contatore, mente il nome “che non riconoscete” causa un decremento del contatore; a quel punto, se alla fine del conto il contatore ha un valore positivo allora il nome è quello che vi ricordate; altrimenti è “l’altro”.

“...e come l’ho memorizzato?” Beh, supponiamo voi possiate dire “non è questo”, e che valga come risposta...

Il guaio è che i nomi saranno tre, e dovreste trovare un modo...

In pratica, avete tre informazioni: il nome che avete appena sentito, il nome che avete in memoria e il valore sul contatore. Come combinate queste tre informazioni per trovare il nome di maggioranza?

3.    Bungee Jumpers

Definiamo due rettangoli “diversi” se hanno dimensioni diverse o diversa posizione.

Quanti rettangoli diversi formati da un numero intero di caselle si possono disegnare su una scacchiera di lato n? E quanti di questi sono quadrati?

La soluzione, a “Pagina 46”

4.    Soluzioni e Note

Agosto!

4.1    [278]

4.1.1    Esame di Maturità

Ancora una volta ritorna questo problema:

All’esame di Maturità, la prova di Matematica era composta da tre problemi, e ogni partecipante ha ricevuto per ognuno dei problemi una valutazione da zero a sette (estremi inclusi). Durate la fase di correzione dei compiti, ci si è accorti che, dati due qualsiasi maturandi, questi hanno ricevuto la stessa valutazione in al più un problema; quanti sono, al massimo, i partecipanti?

In RM279 pubblicavamo la soluzione di Valter e trentatre, in RM280 quella di Galluto, in RM281 quella di Valter, in RM282 le note di Heaviside, che ci ha scritto ancora!

torno sul problema dei maturandi (M).

Il motivo che mi aveva indotto ad azzardare una risposta (sbagliando) è che la risposta di Galluto (RM280) non mi convinceva del tutto, soprattutto se si analizzava il caso votazioni binarie.

Il suo algoritmo (M=V²) mi sembra supporre un grado di libertà che non sempre c’è, ossia che V≥P.

Invece, nel caso più ristrettivo di V<P si ha M=V.

Ad esempio, nel caso di V=2 e P=3 ci sono massimo due sequenze (000 e 011), e nel caso V=3 e P=4 ci sono massimo tre sequenze (0000, 0111, 0222). Ovviamente io sono partito dalla sequenza con tutti zeri, ma anche con altre sequenze iniziali il risultato non cambia (qualcuno direbbe per ovvie ragioni di simmetria).

Concludendo (?)

P=1 —> M=infinito

V>=P>1 —> M=V²

P>1 & V<P —> M=V.

Sarà l’ultima parola su questo problema? Noi siamo sempre contenti di nuovi contributi.

4.2    [282]

4.2.1    Affettare la torta. Anzi, due.

Problemi geometrici questo mese, da risolvere con riga e compasso, anche se il compasso non è greco, grazie al cielo, così ci si può sbizzarrire. Il primo problema ne contiene due:

La pasticcera ha fatto una torta rettangolare ed assaggiato una fetta rettangolare, come dividerla in due parti equivalenti in area?

La seconda torta è quadrata e da dividere in cinque parti, le fette devono avere sia pari superficie superiore che pari superficie laterale esterna.

Il primo a scriverci è stato Emanuele:

Dopo un bel po’ di tempo ho ritrovato il tempo (perdonatemi per il bisticcio di parole...) per ammorbarvi con una mia elucubrazione. Propongo la mia soluzione per “Affettare la torta, anzi due”. Mi sono fermato alla prima parte della richiesta.
La soluzione che propongo funzionerà solamente se la fetta “sgagnata” dalla torta non sarà più alta della metà della torta. Il concetto che ho perseguito è quello di spostare metà del vuoto dalla parte inferiore della torta alla parte superiore:

I passi che ho seguito sono:
1) Trovo la mediana orizzontale della torta tracciando due archi di cerchio puntandoli uno da A a C e l’altro da C ad A e poi tirando una retta che tocchi le due intersezioni dei cerchi D ed E. Geogebra è riuscito a simulare la mia incapacità nel disegno, infatti nella pratica noterete che la retta è un po’ obliqua ... ma immaginate sia bella parallela agli assi di riferimento;
2) prolungo i lati della fetta mancante (usando come punti per il tracciamento K-F e P-H) fino a incontrare la mediana del punto 1) nei punti Y e Z;
3) Trovo la mediana tra la mediana al punto 1) e la parte superiore della fetta mancante (punti K-P). Uso lo stesso metodo al punto 1) puntando il compasso in Y e K;
4) Ora riporto il punto H in X usando il compasso puntato in N (incontro tra mediana 3) e il prolungamento di un lato della fetta mancante e aprendolo fino a H, X sarà il punto di incontro tra il cerchio e il prolungamento;
5) Taglio i segmenti J-Y, Y-X, X-Z e Z-O.

L’area della torta è stata divisa a metà.

Dopo poco è arrivata anche la seconda parte da Emanuele:

Non ho resistito alla tentazione della torta quadrata, d’altronde sono un goloso di prima categoria.

Vi espongo la soluzione che ho adottato e penso aver assolto alla richiesta accontentando tutti e 5 i commensali... nella speranza che le forme non tutte uguali non siano una problema... ma a naso non penso vi siano soluzioni che permettano fette identiche senza usare strumenti di misura più sofisticati rispetto ad una riga e un compasso (che non serve a molto questa volta).

Per prima cosa ho semplicemente diviso il perimetro della torta 20 per il numero dei commensali quindi ad ogni commensale spettano 4 unità di bordo torta. I segmenti arancioni all’esterno della torta sono i segni che delimitano i bordi da assegnare.

Dopodiché le fette da 5 unità (25/5) sarebbero tutte belle con angoli retti se non fosse per il fatto che il quadrato il alto a sinistra (nel mio esempio) ha due bordi di due commensali differenti, il che mi porta a tagliarlo per la diagonale con la conseguenza di creare in altre zone della torta questo tipo di taglio.

Non so se vi siano modi “migliori” (con meno tagli) per raggiungere lo scopo (essedo il mio primo tentativo direi che non è il più ottimale... sempre a naso)... sarebbe bello che qualche vero matematico spiegasse se esiste un modo più semplice per tassellare il piano con questi vincoli e perché.

Ci ha poi scritto Valter:

Parto mostrando come dividere un segmento in N parti uguali perché mi servirà in entrambe le torte.
Il segmento viola è quello da dividere; nell’esempio, mostro come dividerlo in cinque parti uguali.
Dal suo estremo a sinistra con la Riga Greca traccio quello lilla, lungo abbastanza per il seguito.
Con il Compasso Serio, con apertura ragionevole, vi disegno cinque cerchi adiacenti come da figura.
Apro il Compasso Serio con larghezza pari a quella fra i due estremi dei cerchi nel segmento lilla.
Partendo da destra del mio segmento da dividere in 5 parti, con CS traccio l’arco di circonferenza.
Apro il Compasso Serio, con larghezza i due estremi di destra del segmento lilla e di quello viola.
Con esso traccio la circonferenza con centro l’estremo a sinistra, sempre del segmento da dividere.
La circonferenza incrocia l’arco di cui sopra in un punto, da cui parte il segmento lilla in basso.
I dui segmenti lilla sono paralleli e di pari lunghezza; pure sul secondo lilla disegno i 5 cerchi.
Unendo dove si incontrano i corrispondenti cerchi sopra e sotto, divido il mio segmento in 5 parti.

Assumo che la “parte mancante” sia almeno di forma rettangolare altrimenti non saprei proprio come fare.
Se i sui lati non superano la metà di quelli corrispondenti della torta penso si possano tracciare così:
- divido AD e BC in due parti uguali, ottenendo i punti E e F
- divido la distanza di H e di I da CD, ottengo i punti N e O
- eseguo i tagli come da disegno; le parti hanno stessa area.
Se i sui lati superano la metà di quelli corrispondenti della torta, penso li si possano tracciare così:
- divido AN BO EI FL EG FH in due parti uguali ottenendo i punti M P Z Q V U
- scompongo i rettangoli IEGD e FLCH, entrambi, in 12 “rettangolini” uguali
- per farlo divido i loro lati:
-- IE DG e FL CH in quattro parti uguali
-- ID EG e FH LC in tre parti uguali
- con i loro punti Y X W e R S T ne assegno:
-- 6 alla fetta verde
-- 6 a quella arancione
- in questo modo le due fette dovrebbero avere la stessa area.

Trovo il baricentro del quadrato tracciando le sue due diagonali; è il punto dove queste si incontrano.
Divido i suoi lati in 5 parti uguali; con tali punti e il baricentro ottengo 20 triangoli di pari area.
Assegno 4 triangoli adiacenti a ciascuna fetta come da figura; le 5 fette dovrebbero avere stessa area.
Anche la superficie laterale delle 5 fette ha stessa area in quanto è formata dalla base dei triangoli.

Non abbiamo ancora finito di usare riga e compasso, arrivano anche nel secondo problema.

4.2.2    Martin è sempre una certezza...

Un problema di Martin Gardner, per ricordare le nostre origini; forse non molti ricordano il tavolino triangolo-quadrato che Sawdust ci aveva regalato, e che il Capo aveva proposto come problema di riscaldamento, per poi passare alle altre costruzioni:

Martin aveva fornito alcune dissezioni:

Da esagono a quadrato, in cinque pezzi

Da stella a sei punte a triangolo, in cinque pezzi

Da dodecagono a croce greca, in sei pezzi

Da croce maltese a quadrato, in sette pezzi

sapendo che le costruzioni sono corrette, come si costruiscono questi cosi?

Il problema di riscaldamento è affrontato da Valter:

Mi occupo del riscaldamento; uso un triangolo equilatero di lato 2, quindi di area: √3. Il quadrato, essendo assemblato dal triangolo ha stessa area, quindi i lati valgono ∜3.
Per costruzione, come da schema, i segmenti: AD, DB, BE, EC, DE e JK hanno lunghezza 1. L’altezza del triangolo ABC è √3; D ed E, bisecano AB e BC, quindi, distano √3/2 da AC.
I segmenti EH/EJ hanno stessa lunghezza che vale con Pitagora: √(GH²-GE²)=.

Risolvendo si ottiene che tale lunghezza risulta essere ∜3, cioè, il lato del quadrato.
I triangoli DEL/JKM sono congruenti; il quadrilatero DEKJ è un parallelogramma proprio.
DEKJ ha base 1 e altezza √3/2, per costruzione; la sua area vale, quindi, proprio √3/2.
Tale area si può ottenere pure sommando quella dei due triangoli congruenti DEJ ed EKJ.
Siccome DL=KM sono le loro rispettive altezza su base EJ: ∜3*DL=√3/2 quindi DL=KM=∜3/2.
EL=JM, per la congruenza dei triangoli DEL e JKM; quindi: EL²+(∜3/2)²=1 → EL=JM=.

Il piede dell’altezza del triangolo JKM, sulla base JK, si ottiene da .

Risolvendo si ha che x=√3/4, per cui il piede dista 1-√3/4 da J e, ovviamente, √3/4 da K.
I triangoli JKM e, quello, con lati MK, l’altezza in esame e il pezzo di JK sono simili.
Ottengo pure x quindi, da questa similitudine: KM/JK=x/KM → (∜3/2)/1=x/(∜3/2) → x=√3/4.
Con Pitagora ho i lati DJ=EK del parallelogramma proprio DEKJ: √(DL²+JL²)=.

I tre quadrilateri, e il triangolo, si “incastrano” perfettamente a formare il quadrato:
- gli angoli in L e M sono retti
- LE+EM = MK+KM = MJ+JL = LD+DL = ∜3
- gli angoli in A,B e C sono di 60°; la loro somma dà, quindi, un angolo piatto
- DA = DB = EB = EC = 1
- KA+AJ = JK = 1
- gli angoli in D E J e K, nelle due figure piane adiacenti, sommati danno 180°.

Il lavoro di trentatre è come sempre strutturato e dettagliato:

Si chiede una costruzione con riga e compasso della trasformazione fra due figure, che indico con (a) e (b).

Per ognuno dei 4 casi questo richiede la precisazione della geometria del problema (le sue proprietà geometrico-algebriche, che vanno dedotte dalle figure), la dimostrazione con riga e compasso (non della trasformazione già data per corretta, ma della partizione interna di (a) e (b), dato il perimetro) e infine la spiegazione verbale del procedimento seguito.

Nella dimostrazione, essendo il piano teorico infinito ma quello reale limitato, alleggerisco il disegno tralasciando i dettagli di alcune operazioni “semplici” che ritengo scontate.

Nella spiegazione uso le abbreviazioni

 : un punto

 : retta per i punti A e B

 [AB] : segmento fra i punti A e B

 : cerchio di centro A che passa per B

 *: retta parallela ad AB passante per C

 *: retta ortogonale ad AB passante per C

 *: punto di mezzo di un segmento

- le operazioni * sono quelle “semplici”

- X < Y indica che l’elemento X è generato da Y .

problema 1 - da esagono a quadrato

geometria fig.1.1

- tutti i pezzi si spostano da (a) a (b) senza rotazioni

- la retta HL è parallela a BF - v. pezzi Q, S in (b)

- la lunghezza DG è uguale al lato di (b) - v. pezzi Q, R

- dalle proprietà dell’esagono di lato unitario

- gli angoli in K, N sono retti

- i punti K, N, L si ottengono tutti da H

- il punto H è libero : ogni posizione fra B e C è una soluzione, come il fig. 1.2

- questo corrisponde allo spostamento in (b) del pezzo P che può muoversi fino a ridurre i pezzi T oppure Q a un triangolo. Quindi in (a) basta costruire con riga e compasso e il resto segue.

In fig. 1.3 le dimostrazioni (a) e (b)

- spiegazione (a)

- ottenuti tutti i punti basta tracciare i segmenti

nb. dal triangolo RUS rettangolo in U si ha

- (b) dipende dalla posizione di H; quindi occorre spostare da (a) qualche elemento

- in fig. 3 sposto solo il pezzo T e costruisco il resto

- spiegazione (b)

nb. v. pezzi Q, R in fig. 1.

problema 2 - da stella a sei punte a triangolo

geometria fig. 2

- questa è una costruzione molto nota

- sia (a) che (b) sono composti da 6 triangoli equilateri e 12 semi-triangoli

- dato il perimetro delle figure il tracciato interno richiede solo

 (a) la congiunzione di alcuni vertici delle stella e gli assi di due lati (pezzi P e S)

 (b) le ortogonali ai lati condotte dai vertici del triangolo e dagli assi dei lati

La dimostrazione con riga e compasso e la sua spiegazione sono banali e non le riporto.

problema 3 - da dodecagono a croce greca

geometria fig. 3.1

- i pezzi Q,R,S,T hanno la stessa forma ruotata

- dalle proprietà del dodecagono di lato unitario

- infatti (b) è composto di 5 quadrati di area .

In fig. 3.2 divido la soluzione (a) in due parti - i punti interni M,N,O,P sono tutti sull’incrocio di due diagonali del poligono e la soluzione è immediata

- per gli altri punti la spiegazione (a) a destra è

nb. le lunghezze dei segmenti sono

- i punti S, T si ottengono nello stesso modo o ruotando Q, R con centro in Z (incrocio di BF e AI con angolo di 30°)

La spiegazione di (b) si ricava da fig. 3.1; tutti i lati interni, inclusi quelli del quadrato centrale hanno la lunghezza del lato di (a) e la soluzione è immediata.

problema 4 - da croce maltese a quadrato

geometria in fig. 4.1 dove

- punti A,C,E,G in (a) vertici del quadrato (b)

- le rette parallele BC, AD, MH e ortogonali a queste DE, CF

- segmenti DV ed EM uguali e paralleli (v. pezzi P e S in (b))

- triangoli DMV, DME uguali e isosceli

- CV uguale a VM perché basi di due pezzi S

- quindi CM si divide in 4 parti uguali, da cui 5 righe diagonali equidistanti

- i punti di incrocio dei lati, ripetuti su tutti, danno la griglia di fig. 4.2

- i punti interni della figura stanno negli incroci della griglia salvo per alcuni che si ricavano da altri incroci e con rette parallele ad altre esistenti

- per (b) dividendo i lati del quadrato in 4 parti si riottiene la griglia, con risultato analogo.

Con la griglia di lato unitario i pezzi Q, R e S hanno aree uguali a 1, e P area 11, perché le due figure hanno area 17 (il lato di (b) vale come dice Pitagora).

Tracciare le griglie e trovare i punti interni alle figure con riga e compasso richiede solo poche operazioni semplici; tralascio di scrivere dimostrazione e spiegazione.

Riassumendo, nei casi 2 e 4 il vero problema è trovare, in modo semplice nel primo e complicato nel secondo, le due griglie di triangoli equilateri e di quadrati sottostanti ai disegni; e fatto questo la riga e il compasso non aggiungono niente.

E con questo concludiamo, sperando che i problemi dell’estate vi abbiano soddisfatto. Alla prossima!

5.    Quick & Dirty

I vertici di un pentagono convesso giacciono tutti sul reticolo intero. Dimostrate che il pentagono (interno e perimetro) contiene almeno un ulteriore punto del reticolo.

6.    Pagina 46

Per prima cosa, determiniamo quanti rettangoli di larghezza k e di altezza l possano essere costruiti sulla nostra scacchiera. Ognuno di questi rettangoli è costruito selezionando k colonne e l righe consecutive. Il gruppo delle k colonne, potendo l’ultima colonna essere la k-esima, (k+1)-esima, …, n-esima della scacchiera, può essere scelto in (n+1–k) modi e, secondo lo stesso ragionamento, il gruppo delle l righe può essere scelto in (n+1–l) modi. Quindi, un rettangolo di larghezza k e altezza l può essere scelto in (n+1–k)(n+1–l) modi.

Fissato ora k e mantenuto variabile l (tra 1 e n), determiniamo quanti rettangoli sono definibili:

Considerando che anche la larghezza k può variare tra 1 e n, si vede che il numero totale dei rettangoli viene ad essere:

Per quanto riguarda il numero dei quadrati, è sufficiente considerare che in questo caso k e l variano di concerto, e quindi la formula vista sopra diviene:

Il che risolve il problema.

Ricordando però che:

possiamo dare le soluzioni nella forma simmetrica seguente:

Il numero dei quadrati in una scacchiera quadrata di lato n è:

Il numero dei rettangoli in una scacchiera quadrata di lato n è: