Block Notes Matematico

A cura di Rosario Turco & Maria Colonnese

Una dépendance del bookshelf tutta dedicata ai lavori matematici di R&M.

(A proposito, se volete andare direttamente sul loro sito/blog, basta cliccare sul titolo)

Il postulato di Bertrand e la congettura di Legendre

"Congettura" e "Postulato" sono due termini cruciali in matematica, perché denunciano entrambi una carenza di un elemento essenziale del procedere matematico: la dimostrazione.In un caso - quello della congettura - la carenza è ipotizzata essere solo temporanea e non sostanziale, nel senso che ci si augura che prima o poi la congettura si trasformi in un teorema. Nel caso del postulato, invece, la dimostrazione è del tutto lasciata fuori dall'ambito, perché si assume - o meglio si postula - la validità stessa del contenuto del postulato. Rosario Turco e i suoi colleghi credono di aver trovato una relazione importante che lega la Congettura di Legendre e il Postulato di Bertrand. Hanno scritto l'articolo e l'hanno inviato ad alcuni riviste specializzate, in lingua inglese. La versione italiana, invece, la trovate proprio qui, in esclusiva. Se volete fare un favore a Rosario, a RM e a voi stessi, potreste provare a dare un'attenta lettura al contenuto, segnalando gli eventuali errori o imprecisioni.

La congettura di Legendre

Adrien Maria Legendre è un nome famoso nella matematica. Tra le molte cose che ha elaborato nella sua lunga carriera di matematico, c'è anche una particolare congettura che, essendo tale, sembra resistere ancora ai tentativi di dimostrazione. Il tenutario di questa speciale sezione del Bookshelf, Rosario Turco, insieme ad alcuni amici ha realizzato uno studio interessante sulla congettura stessa. Vi consigliamo di leggerla, anche perché costituisce la premessa dell'articolo successivo che, se dimostrato esatto, potrebbe davvero costituire qualcosa di nuovo ed interessante per la matematica.

Pseudoprimalità dei Repunit

Insieme all'amico Gabriele di Pietro, Rosario Turco questa volta ci accompagna attraverso le relazioni che legano (o sembrano legare) famiglie strane di numeri come quelli di Carmichael (se non li conoscete, chiedete a Fermat) e i Repunit, ovvero i numeri che si scrivono al risparmio, usando solo le unità.

Il crivello di Dirichlet e Il problema dei divisori di Dirichlet

Rosario Turco si riappropria della sua sezione e ci propone, sempre in tema di primalità, un crivello poco noto, ma decisamente più sofisticato di quello di Eratostene. Si tratta di uno strumento matematico ideato dal grande Dirichlet Lejeune, di cui Turco indaga anche il problema dei divisori.

About twin primes and distribution of primes

Rosario Turco e Maria Colonnese ospitano un lavoro molto accurato e serio sui primi gemelli, a firma di Gabriele Di Pietro. Dopo un romanzo e un film, è probabilmente giunto il tempo di tornare a parlare di Twin Primes nel loro contesto più naturale: quello degli articoli di matematica. Il pezzo è in inglese.

Stelle, buchi neri, wormhole e velocità superluminari.

Dopo la fantascienza, quella parte della scienza che meglio alimenta la fantascienza stessa: l'astronomia, o meglio l'astrofisica, con anche un pizzico di cosmologia. Quanto basta a immaginare più universi dentro un solo universo, e velocità superiori a quelle della luce.

Un racconto di fisica, di matematica, e di tempo.

Questa sezione vede una duplice rivoluzione, grazie a questo pezzo: innanzitutto, viene ospitato un nuovo autore, cosa davvero insolita nel regno di Rosario Turco e Maria Colonnese; ma ancora più rivoluzionaria è la seconda considerazione: niente saggi di matematica, niente articoli dotti, ma della vera letteratura! Fantascienza, per la precisione, quella che una volta si chiamava "hard science-fiction", piena di macchine del tempo, di computer, di laboratori; e con protagonisti non giovani bellocci e affascinanti, ma scienziati in camice bianco. Hanno iniziato così i grandi: Asimov, Heinlein, Clarke. Tenete d'occhio l'autore: un po' per il suo nome, Mario Turco, che mostra una certa relazione e assonanza con i detentori di questa sezione; ma soprattutto per la sua età: in quest'estate del 2010 ha la bellezza di undici primavere sulle spalle.

Il Cerchio e Goldbach

La Congettura di Goldbach è probabilmente l'ipotesi di matematica ancora irrisolta che può essere espressa nel linguaggio più facilmeente comprensibile anche dai non addetti ai lavori. Spiegare l'Ipotesi di Riemann o "P vs NP" può non essere facile: raccontare in cosa consista la Congettura di Goldbach, invece, è semplicissimo. Ma ciò non toglie che resti ancora uno dei più grandi problemi irrisolti. Molti i grandi matematici che l'hanno affrontata, molti i metodi messi in campo: in quest'articolo, Rosario Turco illustra l'affascinante "Metodo del Cerchio" che fu avanzato da Hardy e Littlewood.

Grafici della misteriosa Zeta

Un articolo davvero insolito: ogni appassionato di matematica ha sentito nominare l'Ipotesi di Riemann, e quasi tutti sanno che è un'ipotesi che riguarda una strana funzione chiamata Funzione Zeta. Ma sono in pochi a saperla riconoscere: Rosario e Maria, in questo pezzo, diventano dei veri operatori turistici per matematici, incaricandosi di farci da guida attraverso le regioni, opportunamente graficizzate, della Zeta.

Gravità tra paradossi e scienza

Dopo le Stringhe, Rosario e Maria tornano alla fisica più classica: la Gravitazione. Ne approfittano per parlare di un fisico relativamente poco noto: Burkhard Heim.

Congetture di Andrica e Cramer

Ancora con Michele Nardelli, Rosario Turco e Maria Colonnese parlano - ma im inglese, stavolta - prima della Congettura di Andrica e poi di quella di Cramer-Shank. Il loro fine ultimo è, come sempre, trovare connessioni con la Teoria delle Stringhe

Frazioni Continue e Zeta di Riemann Frazioni continue e Zeta di Riemann

Insieme a Michele Nardelli, Rosario Turco e Maria Colonnese tornano a parlare di Frazioni Continue e Zeta di Riemann, passando anche per la connessione con la Teoria delle Stringhe.

Geometria frattale: tra filosofia e necessità

Un volo sulla geometria frattale, da Julia a Mandelbrot e oltre. A metà tra filosofia e necessità, come dicono i nostri nel titolo.

La matematica delle stringhe?

La struttura matematica degli articoli precedenti, Zeta di Riemann, congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, teoria delle stringhe e delle brane, geometria di Calabi Yau, le stringhe aperte p-adiche. Da G. Veneziano all'UTF di Wiles, alla congettura di Tanyama-Shimura, ecco che la funzione Zeta ci porta diritto alla matematica usabile per le stringhe aperte.

Dimensioni nascoste, particella di Higgs, Supersimmetria, Teoria delle Stringhe

Analisi della particella di Higgs e delle particelle virtuali, con ipotesi sulla loro non-localizzazione. Un passo verso la TOE (Theory Of Everything) e la Teoria delle Stringhe applicata alle brane. Seconda parte

Congettura di Yang e Mills o del gap di massa

Sono oltre cento anni che i fisici di tutto il mondo cercano una grande teoria unificatrice generalizzata (GUT), che possa mettere d'accordo i modelli fisici finora noti del molto grande (elettromagnetismo e relatività) e del molto piccolo (modello quantistico), insieme a quello della vita di tutti i giorni (modello newtoniano e della gravità).
Ognuno dei tre modelli risulta molto valido solo nell ambito del proprio dominio di applicazione, mentre esisterebbero contraddizioni se si applicasse un modello in un altro dominio. Dimostrare la congettura di Yang e Mills avrebbe grandi risvolti sulla conoscenza attuale della fisica, ma richiede lo sviluppo di una nuova matematica. Il problema di per sé unisce le più affascinanti pagine della storia della fisica e della matematica.
La congettura di Yang e Mills è, quindi a ragione, il secondo problema del Millennio, così definito dal Clay Mathematics Institute, che mette in palio un milione di dollari, come anche per altri sei problemi.

Tecniche di Primalità

L'area dei Test di Primalità, sicuramente non banale, è utile all'indagine di vecchie congetture (primalità, gap, problemi P=NP, etc), di nuovi Teoremi e di percorsi inesplorati.
L'interesse per tale area da parte dei ricercatori è legata soprattutto a trovare test di primalità, deterministici o probabilistici, molto veloci; in questo modo si possono accumulare dati più rapidamente ed effettuare analisi su di essi per poter definitivamente verificare o migliorare le vecchie congetture come quelle di Mersenne, di Fermat, la verifica dei gap e le congetture di Cramer, Cramer-Granville, Shank ed altri.

Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer

Il 2 agosto 1927 nasceva Peter Swinnerton-Dyer che insieme a Birch formulò una leggendaria congettura ancora tuttora indimostrata, decimo problema di Hilbert e descritta da Andrew Wiles come problema del Millennio.
Nel lavoro sono mostrati i legami di tale argomento con la Teoria dei Numeri, le curve ellittiche, l'ultimo Teorema di Fermat, le terne pitagoriche, la funzione zeta di Riemann, le funzioni generalizzate di Dirichlet, di Hurwitz, la Teoria dei Gruppi, la Topologia e mostreremo l'interesse emergente per le curve ellittiche nella crittografia e nella fattorizzazione.
Nel lavoro mostreremo infine, in ambito crittografico, alcuni software didattici sviluppati all uopo dagli stessi autori.

Ancora sulla congettura di Riemann

In questo lavoro gli autori riprendono e approfondiscono i temi della RH già presentati, spiegando formule e mostrando diverse funzioni speciali che usualmente sono introdotte col Teorema dei Numeri primi e utili per investigare ulteriori strade.
Uno dei risultati maggiori dell'articolo è la dimostrazione, grazie a tutti i passaggi esposti, che la congettura sugli zeri semplici della zeta di Riemann è vera e dimostrabile con passaggi analitici e qualche richiamo teorico.

La Congettura di Collatz in N

In questo lavoro, per la versione classica di Collatz, gli autori presentano propri Lemmi e studiano diverse proprietà dei numeri, mettendo insieme molti tasselli del mosaico e aggiungendone anche di nuovi: i numeri glide complessi, isoglide, isopath massimi, glide biunivoci, glide+n, glide-n; una formula generale dei numeri ed i casi ad essa associati: i numeri di Collatz, i numeri bizzarri di Collatz, i numeri primi di Mersenne ed i numeri perfetti; i numeri potenze di 2 e potenze di 3, 4n+1, 4n+3 e tutte le loro forme di riducibilità: riducibilità, pseudo riducibilità, isopath riducibilità; di cui l'isopath riducibilità è la versione generalizzata; la congettura del massimo della successione di Collatz classica.

Sulle spalle dei giganti

Riemann è sempre stato una passione per RM. Dopo aver raccontato il pellegrinaggio alla sua tomba, ci sarebbe piaciuto anche scrivere qualcosa di buono sulla sua matematica. Per nostra fortuna, ci hanno pensato Rosario Turco e alcuni suoi compagni d'avventura. Visto che non riusciremo mai a scrivere niente di meglio, lo abbiamo convinto a lasciare qui la sua opera. Lui ha acconsentito, e ci ha perfino inviato anche la versione inglese, per chi volesse far loro pubblicità anche in ambienti più internazionali.